Nidaamka isku dheelitirka aljebrada. Nidaamyada qulqulka ah ee isla'egyada toosan ee aljebrada

Dib-u-noqoshada dugsiga, midkeen kastaaba wuxuu baranayey isla'egyada iyo, malaha, nidaamka isla'egta. Laakiin dad badan ma oga in ay jiraan siyaalo badan oo lagu xaliyo. Maanta waxaanu si faahfaahsan uga wada hadli doonaa dhammaan hababka loo xallinayo nidaamka isku dheelitir la'aanta aljebrada oo ka kooban laba wax oo sinnaan ah.

Taariikhda

Ilaa hadda, waxaa la ogsoon yahay in farshaxanka xallinta isla'egyada iyo nidaamyadoodu asalkoodu ka yimid Baabulkii iyo Masar. Si kastaba ha noqotee, sinnaanta qaabka caadiga ah ee naloogu soo bandhigay marka la eego muuqaalka calaamadda sinnaanta "=", oo la soo bandhigay 1556 diiwaanka xisaabta ee Ingiriisiga. Taasna, calaamadgan ayaa loo doortay sababo: waxay ka dhigan tahay laba qaybood oo isku mid ah. Waa run in tusaale ahaan ugu wanaagsan ee sinaanta aan la malayn karin.

Aasaasihii of Ereyada casriga ah iyo astaamo ilaa xad aan la garanayn, xisaabyahan Faransiiska Fransua celinta. Si kastaba ha ahaatee, tilmaamahoodu aad ayuu uga duwan yahay maanta. Tusaale ahaan, kareemka lambar aan la garaneynin ayaa lagu muujiyey warqad Q (Latin 'quadratus'), iyo cube uu ku qoray waraaqda C (Latin "cubus"). Noocyadaas hadda waxay u muuqdaan kuwo aan fiicneyn, laakiin markaa waxay ahayd habka ugu fahmi karo ee lagu qori karo nidaamyada isla'egta xisaabta.

Si kastaba ha noqotee, faa'iido darrada ku jirta hababka xalka ee xalka ayaa ah in xisaabiyayaashu ay tixgeliyaan xididada wanaagsan. Waxaa laga yaabaa in tani ay sabab u tahay xaqiiqda ah in qiimaha taban aan wax codsi ah samayn. Hase yeeshee, xisaabta Talyaaniga Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano iyo Rafael Bombelli qarnigii 16aad ayaa ahaa kuwa ugu horreeya ee tixgelinaya xididdada taban. eegno casriga ah A, habka ugu weyn ee xalinta isleegyo saablay (iyada oo discriminant) waxaa la aasaasay kaliya ee qarnigii 17aad iyada oo shuqullada Descartes iyo Newton.

Bartamihii qarnigii 18aad, qoob-ka-ciyaarka Swiss-ka Gabriel Kramer wuxuu helay hab cusub oo lagu xalliyo nidaamyada isla'egyada toosan. Nidaamkan ayaa markii dambe loo magacaabay isaga iyo tan maanta waxaan isticmaaleynaa. Laakiin waxaan ka hadli doonnaa habka Cramer's wax yar ka dib, laakiin hadda, waxaan ka wada hadli doonaa isla'egyada qumman iyo hababka loo xaliyo si gooni ah nidaamka.

Isku dheelitir la'aanta

Isku dheelitirnaanta tooska ah waa isku dheelitiryada ugu fudud ee leh variable (s). Waxaa loo aqoonsaday inay yihiin aljebrada. isleegyo qumman ku qoran foomka guud sida soo socota: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... iyo _n * x _n = b. Wakiilka iyaga oo foomka ku jira ayaa looga baahan yahay qaabeynta hababka iyo shahaadooyinka dheeraad ah.

Nidaamka isku dheelitirka aljebrada

Qeexitaanka ereygan waa: waxa weeye ururinta isla'egyada oo leh tiro badan oo aan la garanayn iyo xal caadi ah. Sida caadiga ah, dugsiga, wax walba waxaa lagu xalliyay nidaamyada leh laba ama sedex siman. Laakiin waxaa jira nidaamyo leh afar qaybood ama wax ka badan. Aynu marka hore fiirino sida wax loo qoro si mustaqbalka loo gaadho xal. Marka hore, nidaamyada isku dheelitirka aljabraada ayaa si fiican u eegi doona haddii dhammaan doorsoomayaasha loo qoro x oo leh calaamadda u dhiganta: 1,2,3 iyo wixii la mid ah. Marka labaad, waa in horseedi dhan isleegyo si foomka qaadanin: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... iyo _n * x _n = b.

Dhamaan tallaabooyinkaas oo dhan, waxaan bilaabi karnaa inaan sheegno sida loo helo xalka si loo isticmaalo nidaamyo isla'eg oo qumman. Wax badan oo tan ah waxaan ubaahanahay imtixaanno.

Matrices

Miisaaniyadu waa miis ka kooban safafka iyo tiirarka, iyo isgoysyadooda waa xubno. Tani waxay noqon kartaa qiimo gaar ah ama doorsoomayaal. Xaaladaha intooda badan, si loogu magacaabo xubno loo qoondeeyey subscripts ah (tus, ₁₁ ama ₂₃ iyo sidoo kale) hoose. Tusmada ugu horeysa waa lambarka lanbarka, iyo kan labaadna waa qaybta. Ka badan imtixaannada, iyo waliba wax kasta oo kale oo xisaabeed, waxaad samayn kartaa hawlo kala duwan. Sidaa darteed, waxaad:

1) Ka jar oo ku dar miisaska isku midka ah.

2) Ku dheji jaantuska lambar ama vektor.

3) Isbeddel: u beddel safafka qorraxda dhejiska, iyo tiirarka - xariiqyada.

4) Ku dheji kartid imtixaanada haddii tirada safka mid ka mid ah ay u dhigantaa tirada tiir ee kale.

Waan ka wada hadli doonaa dhammaan farsamooyinkan si faahfaahsan, maxaa yeelay waxay nagu caawinayaan mustaqbalka. Kala jaridda iyo ku-darsiga Matrix waa mid aad u fudud. Tan iyo markii aan qaadno qiyaasaha isla cabirka, hal kasta oo miis ah ayaa u dhiganta walxaha kale ee kale. Sidaa daraadeed waxaan ku dari karnaa (kalagoynnta) labadan waxyaalood (waa muhiim in ay istaagaan isla meelahooda maadooyinka). Markaad ku dhejiso jaantuska lambar ama vektor, waxaad si fudud ugu dhufaneysaa walxaha jajabkoo leh lambarka (ama vector). Transposition waa geedi socod aad u xiiso badan. Waa marar aad u xiiso badan si aad u aragto nolosha dhabta ah, tusaale ahaan, marka aad bedesho jihada kiniin ama telefoon. Muujiyeyaasha miiska waxay yihiin jaantus, iyo marka mawqifku isbeddelo, waa la beddelaa oo wuxuu noqdaa mid ballaadhan, laakiin hoos ayuu u dhacaa.

Ina keena aynu baari geedi socod ka badan sida isku dhufashada furta. Inkasta oo aysan soo galin, haddana way fiicnaan doontaa inaad ogaato. Isku-dhafan laba matrix oo keliya haddii tirada tirooyinka miisaska la siman yahay u dhigmaa tirada safafka kale. Hadda waxaan qaadnaa waxyaabaha ka mid ah xariijinta mid ka mid ah jaantuska iyo waxyaabaha kale ee ka mid ah qaybta kale ee u dhiganta. iyaga waan tarmin doonaa si kale oo markaas wadarta kasta (i.e., tusaale ahaan, wax soo saarka qaybaha ₁₁ iyo ₁₂ iyo ₁₂ b iyo ₂₂ b noqon doonaa siman yahay si: * b a _{11 12} + ₁₂ * b iyo _22). Sidaa darteed, hal element oo miiska waxaa la helaa, isla habkaasna waxaa loo buuxiyaa si dheeraad ah.

Hadda waxaan bilaabi karnaa in aan tixgelinno sida nidaamka isku dheelitirka qumman.

Habka Gauss

Mawduucan wuxuu bilaabmayaa inuu ka dhaco dugsiga. Waan ognahay fikradda "nidaamka laba isleh xisaab" oo si fiican u xalin kara. Laakiin maxaa dhacaya haddii tirada isleegyada ay ka weyn tahay laba? Tani waxay naga caawin doontaa habka Gauss.

Dabcan, way ku haboon tahay in la isticmaalo habkan haddii aan ka sameysaneyno qiyaasta nidaamka. Laakiin ma beddeli kartid isla markaana xallin kartid foomka saafiga ah.

Sidee buu nidaamka iskudhafka qumman ee Gauss-ka u xalliyaa habkan? By habka, inkasta oo habkan loo magacaabay isaga ka dib, laakiin waxaa la helay wakhtiyadii hore. Gauss wuxuu soo jeedinayaa waxyaabahan soo socda: in la sameeyo hawlgalo la mid ah isla'egyada, si ay ugu dambaynta u noqdaan wadarta guud ee qaabka la midka ah. Taasi waa, waa lagama maarmaan in laga bilaabo kore ilaa hoose (haddii si habboon loo habeeyo) laga bilaabo isla'egta koowaad ilaa kan ugu dambeeya wuxuu hoos u dhigi doonaa mid aan la aqoon. Si kale haddii loo dhigo, waxaan u baahan nahay inaan sameyno si aan u helno, oo aan u sheegno, saddex isbarbardhig: ugu horeyn - saddex aan la aqoon, labaad - laba, saddexaad - mid. Kadib marka la eego isbarbardhigga ugu dambeeya waxaan heleynaa bilowga hore, bedel qiimihiisa labaad ama midabka koowaad, ka dibna waxaad heleysaa labada doorsoome ee soo haray.

Habka loo yaqaan 'cramer's'

Si loola macaamilo habkan, waxaa muhiim ah in la yeesho xirfadaha iskudhafka, kala-gooyaha imtixaannada, iyo sidoo kale inay awood u yeeshaan inay wax ka qabtaan. Sidaa darteed, haddii aad si xun u sameyso ama aadan garaneynin sida, waa inaad barataa oo aad barato.

Muxuu yahay nuxurka habkan, iyo sida loo sameeyo si loo helo nidaamka isku dheelitirka qumman ee toosan? Waa wax sahlan. Waa in aan dhisi karnaa naqshad si lamid ah (oo had iyo jeer ah) isku dheelitirnaanta nidaamka isku dheelitirka qadka toosan. Si arrintan loo sameeyo, u qaado lambarrada horay loo yaqaan 'unknowns' una dhig miiska marka loo eego habka ay ku qoran yihiin nidaamka. Haddii ay jirto calaamad "-" ka hor lambarka, ka dibna qor qoraalka taban. Sidaa daraadeed, waxaan ku soo aruurinnay wejiga kowaad ee isku dheelitiryada aan la garanayn, oo aan ku jirin lambarrada ka dib calaamadaha isku midka ah (waa dabiici ah in isla egtahay in la yareeyo qaabka qaanuunka, marka dhinaca midigtu ku jiro lambarka kaliya, iyo dhinaca bidixda oo dhan oo aan la ogeyn). Kadibna waxaan u baahanahay in aan sameyno imtixaano dhowr ah, midkastoo isbedel kasta. Si arrintan loo sameeyo, beddel midabada ugu horeysa, santuuq kasta oo leh iskudhafka qaybta lambarrada ka dib calaamad siman. Sidaa awgeed waxaanu helnaa qaamuusyo dhowr ah ka dibna waxaan helnaa go'aan qaadashadooda.

Ka dib markii aan helnay natiijooyinka, waa wax yar. Waxaan leenahay shaxda bilowga ah, waxaana jira dhowr matrices oo laga helayo doorsoomayaal kala duwan. Si aan u helno xalka nidaamka, waxaan u qeybinaa go'aan qaadashada miiska la helay oo loo kala gooyey miiska hore. Tirada keentay waa qiimaha mid ka mid ah doorsoomayaasha. Sidoo kale, waxaanu helnaa dhammaan cidda aan garanayn.

Hababka kale

Waxaa jira dhowr habab oo kale oo lagu heli karo xalka nidaamyo isla'eg oo qumman. Tusaale ahaan, habka loo yaqaan 'Gauss-Jordan', oo loo isticmaalo in lagu helo xalal nidaam ah isla'egyo siman, waxay sidoo kale la xiriirtaa isticmaalka maadooyinka. Waxa kale oo jira habka Jacobi ee xalinta nidaamka isku dheelitirka qadka toosan. Waa midka ugu fudud ee kombuyuutarka loo isticmaalo waxaana loo isticmaalaa tiknoolojiga kombiyuutarka.

Kiisaska adag

Culeysku wuxuu badanaa soo baxaa haddii tirada isleegyadu ay ka yar tahay tirada doorsoomayaasha. Markaa waxaan u sheegi karnaa qaar ka mid ah in nidaamkani aanu ku habooneyn (taas oo ah, mid aan lahayn xidido) ama tirada xallalku waxay u egtahay midnimo. Haddii aan haysano kiis labaad, markaa waxaan u baahanahay in aan qoro xalka guud ee nidaamka isku dheelitirka qumman. Waxay ku jiri doontaa ugu yaraan hal variable.

Gabagabo

Sidaas awgeed ayaannu u soo gaadhay dhammaadka. Aan soo koobno: Waxaan ku falanqeynay waxa nidaamka iyo qiyaasta ay yihiin, waxaanan barannay sida loo helo xal guud ee nidaamka isku dheelitirka qumman. Intaa waxaa dheer, waxaanu tixgelinnay doorashooyin kale. Waxaan soo baxay is tusay sida loo xaliyo nidaamka isleegyo qumman, tirtiridda Gaussian iyo qaanuunka Cramer ee. Waxaan ka wada hadalnay xaalado adag iyo siyaabo kale oo lagu helo xal.

Dhab ahaan, mawduucan waa mid aad u ballaaran, haddii aad rabto inaad si fiican u fahamto, markaa waxaan ku talinaynaa in aan akhrino qoraallo khaas ah oo dheeraad ah.