Kalkulas kala duwan ee hawlaha ka mid ah iyo dhowr doorsoome

kalkulas kala duwan waa laan ka mid ah falanqaynta xisaabta, taas oo baarayaa derivative ah, oo kala ah iyo isticmaalkooda daraasadda of hawlaha.

Sheekada

kalkulas kala soo baxay sida anshaxa madax banaan ee qeybtii labaad ee Qarnigii 17aad, si ay shuqulka Newton iyo Leibniz, kuwaas oo la diyaariyey qodobada asaasiga ah ee xisaabinta oo kala oo ogaaday xidhiidhka ka dhexeeya is-dhexgalka iyo kala mahad. Tan iyo anshaxa uu weheliyaan horumariyay xisaabinta integrals, oon dhismaha ku salaysan falanqaynta xisaabta. muuqaalka kore ee calculi kuwaas oo la furay muddo cusub oo casri ah oo adduunka ah xisaabta iyo sababay ah ee nidaamo cusub ee sayniska. Sidoo kale kordhiyay suurtagalnimada ee codsanaya xisaabta ee cilmiga dabiiciga ah iyo injineernimada.

fikradaha aasaasiga ah

kalkulas kala duwan ku salaysan yahay fikradaha aasaasiga ah ee xisaabta. Waxay kala yihiin: a tirada dhabta ah, sii iyo xadka of shaqo. muddo ka dib, oo waxay iska qaataan eegno oo casri ah, si ay u kalkulas ah muhiim oo kala duwan mahad.

Geedi socodka ah ee la abuurayo

Formation of kalkulas kala duwan ee foomka codsiga, ka dibna habka cilmiyeed ka dhacay ka hor soo bixitaanka of aragti falsafadeed, oo waxaa la abuuray by Nikolay Kuzansky. Shuqulkiisa waxaa loo arkaa inay horumar evolutionary ka sayniska ee qadiimiga ah ee xukunka. In kasta oo xaqiiqda ah in falsafo qudhiisa isma ahaa xisaabyahan ah, inuu kaalin ka qaato horumarka sayniska xisaabta waa la dafiri karin. Cusa, mid ka mid ah ka soo koowaad ee tixgelinta ee xisaabta sida sayniska ugu sax ah, xisaabta gelinaya markii su'aal.

In xisaabyahannada qadiimiga Faraj universal ahaa unit ah, halka Faylasuuf la soo jeediyey sida xad la'aan ah qiyaas cusub ku soo laabto tirada dhabta ah. In xidhiidh la leh this matalaad rogay of sax sayniska xisaabta. cilmiga sayniska, in uu aragtida, waxaa loo qaybiyaa buuxa iyo caaqil. Ku labaad waa badan oo sax ah, sida uu cilmiga ah, tan iyo markii hore ku siinaysaa natiijooyin qiyaas ah oo keliya.

fikrad

Fikradda asaasiga ah iyo fikradda guud ee kalkulaska kala duwan oo la xidhiidha shaqada ee xaafadda yar ee dhibcood gaar ah. Waayo, kan waxaa lagama maarmaan ah in la abuuro qalab xisaabeed si ay u shaqeeyaan waxbarashada, kuwaas oo dhaqanka ee xaafad yar oo ku rakiban dhibcood ku dhow yahay inuu dhaqanka ee fansaarka toosan ama polynom. Iyada oo ku saleysan qeexitaankan of derivative iyo kala duwan.

ah ee fikirka ah derivative ah waxaa sabab u ahaa tiro badan oo ah dhibaatooyinka cilmiga dabiiciga ah iyo xisaabta, taas oo keentay in go'aan ka soo baxay xadka qiimaha nooca la mid ah.

Mid ka mid ah hawlaha ugu muhiimsan ee la siiyo tusaale, laga bilaabo fasalada dugsiga ugu da'da weyn, waa in la go'aamiyo xawaaraha mooshin of dhibic in xariiq toosan iyo dhismaha line Taabte si qalooca this ah. kala duwan ayaa lala xiriirinayay in this, tan waxaa suurtagal ah in qiyaasi shaqo ee xaafadda yar oo ah barta ee fansaarka toosan.

Marka la barbar dhigo fikirka ah derivative of function ah variable dhab ah, qeexidda oo kala fudud maraa on shaqo ee dabeecadda guud, gaar ahaan image ee meel Euclidean in kale.

derivative

Ha guuro dhibic jihada of-dhidibka y ka, markii aan u qaadan x, kaas oo la qiyaasay tan iyo bilowgii daqiiqad. Sharax dhaqdhaqaaqa noocaas ah waxaa suurto gal by function y = f (x), kaas oo la xiriira in ay mar kasta dhibic x duwo dhibic displaceable. call function Tani ee makaanikada inay qaataan sharciga ee mooshinka. Sifada ugu weyn ee mooshinka, gaar ahaan sinnayn, waa xawaare ku degdeg ah. Marka hal dhibic ku dhaqaaqaa weheliyaan-dhidibka y sida sharcigu ee makaanikada, barta mar random waxay keensataa duwo x f (x). In waqtiga dhibic x + Δh, halkaas oo Δh ka dhigan inremantiga waqtiga, waxaa kordinaty doonaa f (x + Δh). formula Sayidka sameeyay Δy = f (x + Δh) - f (x), oo la yidhaahdo shaqo inremantiga. Waa dhibic ka mid ah waddada ku safray inta lagu jiro waqtiga ka x in x + Δh.

In xidhiidh la leh dhacdo ee xawaaraha ee derivative mar waxaa maamula. derivative ee shaqo kasta oo barta go'an loo yaqaan xadka (haddii loo maleeyo in waxa ka jira). Waxa loo gudbin karaa jilayaasha qaarkood:

f '(x), y', y, DF / DX, haysashada / DX, DF (x).

Geedi socodka ah ee xisaabinta derivative ee kaladuwan call.

kalkulas kala duwan ee hawlaha dhowr doorsoome

Habkani waxaa laga codsadaa marka la xisaabinayo waxbarasho shaqo, dhowr doorsoome. Marka waxaa jira laba doorsoome x iyo y, derivative qayb la eego x barta A waxaa lagu magacaabaa derivative ee shaqada this ee x la y go'an.

lagu tilmaamay waxaa laga yaabaa in ay ku calaamadaha soo socda:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x iyo ∂f (x, y) '/ ∂x.

xirfadaha loo baahan yahay

Si aad u guul leh u bartaan oo ay awoodaan si ay u xalliyaan xirfadaha diffury loo baahan yahay in is-dhexgalka iyo kala. Si ay u fududaato in la fahmo isla'egyada kala duwan ee, waa in la fahamsan yahay derivative topic iyo indefinite muhiim. Sidoo kale ma yeelin si ay u bartaan si ay u raadiyaan derivative ee shaqada awaamiir. Tan waxa u sabab xaqiiqada ah in geeddi-socodka waxbarashada inta badan u isticmaali doonaa integrals oo kaladuwan.

Noocyada kala duwan isleegyo

Dhammaan shaqada gacanta ee la xidhiidha hore amarka isla'egyada kala duwan, waxaa jira 3 nooc oo ah isla'egyada: dhqaalaha, doorsoomayaal separable, toosan inhomogeneous.

Waxaa sidoo kale jira isleegyo noocyada wax dhif ah la total xun Farqiga calaamadaha, isla'egta Bernoulli ee, iyo kuwa kale.

Fundamentals xal

Si aad u bilaabaan, waa in waxaannu xusuusan nahay waa isla'egta aljabrada dabcan dugsiga. Waxay ka kooban yihiin ugu doorsoomayaasha iyo lambarada. Si ay u xaliyaan isla'egta caadiga ah waa ka heli badan oo tiro in ka dhergin xaalad cayiman. Sida caadiga ah, isla'egyada waxay leeyihiin hal xidid, iyo ansaxinta badalo oo keliya qiimaha this galay meel aan la garaneyn.

isla'egta kala duwan waxay la mid this. Guud ahaan, isla'eg ah si ay ugu horeysay ka kooban yahay:

• variable Independent.
• derivative A of function ugu horeysay.
• Function ama variable ku tiirsan.

Xaaladaha qaarkood, waxaa laga yaabaa ma mid aan la garaneyn, x ama y, laakiin ma aha in u muhim ah sida ay lagama maarmaan tahay in ay derivative ugu horeysay, oo aan lahayn taagayo si sare u xal iyo kalkulaska kala duwan ee run bay ahaayeen.

Shaqee isla'egta kala duwan - waxa ay ka dhigan tahay in la helo set ee dhammaan hawlaha ku jira hadal ku haboon la siiyo. nooc ka mid ah hawlaha waxaa inta badan loo yaqaan gacanta xal guud.

kalkulas muhiim

kalkulas qayb ka mid ah qaybaha falanqaynta xisaabta, taas oo baarayaa fikirka ah lagama maarmaan, guryaha iyo qaababka ay xisaabinta.

Inta badan xisaabinta muhiim u dhacdaa marka la xisaabinayo aagga of qaab curvilinear. By taasi ka dhigan tahay meesha xadka, dhinaca oo meel loo dejiyay oo ah qaabka Isasaaray geesoolayaasha leh koror tartiib ah oo gacanta ugu jira, oo dhinaca xogta la sameeyey waxaa laga yaabaa in ka yar wax qiimo yar loo aabo yeelin horay u qeexan.

fikradda ugu weyn ee xisaabinta ee aagga of qaab kasta oo joomateri waa xisaabinta bedka leydi, ka dibna waxaa jira cadaymo muujinaya in ay meesha waa loo siman yahay si wax soo saarka ee dhererkiisu wuxuu by width ah. Marka ay timaado in Joometri, ka dibna dhismaha oo dhan waxaa la sameeyey iyadoo la isticmaalayo taliye iyo wareegtaan, ka dibna ratio of dhererka in width waa qiimaha buuxa. Marka la xisaabinayo bedka saddex xagal toosan oo la go'aamin karaa in haddii aad saaray saddex-xagalka ah ee soo socota, leydi waxaa la aasaasay. In deegaanka ee baaralalogaraam waxaa lagu xisaabiyaa in hab la mid ah, laakiin wax yar ka adag, gudahood leydi iyo xagal. In deegaanka ee geesoolayaasha a waxaa loo arkaa by saddexagal ka mid ah waxa ku jira.

In la go'aaminayo naxariista aan loo aabo yeelin, habkan aan ku haboonayn qalooca. Haddii aan u burburin galay god oo shakhsi ah, waxa ay sii ahaan doonaan meelaha unfilled. Xaaladdan oo kale, isku day in aad isticmaasho laba khamiis qabaa, la laydiga kor iyo hoos, iyadoo ay sabab u ah kuwa ka mid ah garaafka fansaarka iyo kuma jiraan. halkan Muhiim waa hab in ay jebiyaan laydiga kuwan. Sidoo kale, haddii aan qaato nasashada iyo aad u badan hoos u, meesha oo ka mid ah sare iyo ka hoose waa isugu qiimaha gaar ah.

Waa in hab laabto kala laydiyo. Waxaa jira laba hab oo loo jecel yahay.

Riemann ahaa rasmi qeexidda ah lagama maarmaan, abuuray by Leibniz iyo Newton, sida aagga of subgraph. Xaaladdan oo kale, aan loo arkaa tiradaasi ka kooban dhowr ah oo qaar ka mid ah laydiga toosan helay qeybi bareeg ah. Marka jebinta hoos u dhac waxaa jira xad ah kaas oo aagga hoos tiradaasi noocan oo kale ah, xadka tani waxaa la yiraahdaa muhiim Riemann ee function a at bareeg cayiman.

Habka labaad waa in la dhiso Lebesgue ka maarmaan, oo ka kooban in xaqiiqda ah in meeshii ay isa-soociddiisa oo loogu talagalay meesha on qayb ka mid ah integrand ka dibna ururinayaan wadarta muhiim ah oo qiimaha helay qaybo ka mid ah kuwan, dura kala qaybsan ay kala duwan oo ka mid ah qiyamka, ka dibna soo koobay la tallaabooyinka baahisey images-bedelka of integrals kuwan.

qalabka casriga ah

Mid ka mid ah faa'iidooyinka ugu weyn ee waxbarasho ee kala duwan iyo kalkulaska muhiim Fikhtengol'ts qoray - "oo ka mid ah kala duwanaanshaha iyo kalkulaska lagama maarmaan." Uu buugaagta waa aalad aasaasiga ah ee waxbarasho ee falanqaynta xisaabta, taas oo hor joogsaday koob iyo tarjumaadaha badan oo afaf kale. Abuuray ee ardayda oo muddo dheer loo isticmaalo sida mid ka mid ah faa'iidooyinka ugu weyn ee waxbarasho ee kala duwan oo ka mid ah hay'adaha waxbarashada. Waxay ku siinaysaa macluumaad af iyo xirfado wax ku ool ah. Marka koowaad la daabacay 1948.

Geynta function cilmi

Si aad u sahamiyaan hababka shaqo kalkulas kala duwan, aad u baahan tahay in la raaco waxa ay mar horeba isku geynta siiyey:

1. Raadi domain ee shaqada.
2. Raadi xididdada isla'egta siiyey.
3. Xisaabi dhinacada ah. Si arrintan loo sameeyo, waxaan xisaabiyo ah derivative iyo heer uu ku siman yahay waa eber.
4. Badallano qiimaha helay in Equatorial.

Noocyo ka mid ah isla'egyada kala duwan

Control of amarka hore (haddii kale, kalkulas kala duwan ee hal variable) iyo noocyada ay:

• Doorsoomayaal separable isla'egta: f (y) haysashada = g (x) DX.
• The isla'egta ama faraqa function kalkulas ugu fudud ee hal doorsoome, isagoo formula ah: y '= f (x).
• The toosan hore si ay gacanta nonuniform: y '+ P (x) y = Q (x).
• isla'egta kala duwan Bernoulli: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Isla'egta total oo kala leh: P (x, y) DX + haysashada = 0 Q (x, y).

isla'egyada kala duwan ee amarka labaad iyo noocyada ay:

• Dhqaalaha isla'egta kala duwan si labaad oo leh ^horgalaha joogto ^{ah: y n + py '+ qy} = 0 p, q iska leh R.
• Inhomogeneous si labaad isla'egta kala duwan oo leh horgalaha joogto ah ^{qiimaha: y n + py '+ qy} = f (x).
• Dhqaalaha ^isla'egta kala duwan ^{toosan: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, iyo inhomogeneous si ^{isla'eg labaad: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

isla'egyada kala duwan ee amarada sare iyo noocyada ay:

• isla'egta kala duwan, jidaynayey hoos ^{amarka: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• isla'egta A toosan amarka sare ^{_{dhqaalaha: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, iyo ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Marxaladaha xalinta dhibaatada la isla'egta kala duwan ee

Iyada oo taageero ka hago ayaa la xallin xisaabta ma aha oo kaliya ama dhibaatooyin jirka ah, laakiin sidoo kale ay dhibaatooyin kala duwan ee biology, dhaqaalaha, cilmiga iyo kuwa kale. Inkastoo ay kala duwan balaadhan oo ah mawduucyo, waa in ay raacaan hal xigxiga macquulka ah ee xalilaada mushkiladaha kuwan:

1. Dejinta control. Mid ka mid ah marxaladaha ugu adag, taas oo u baahan sax ugu badan, maxaa yeelay, qalad kasta oo keeni doontaa in natiijada si buuxda qaldan. Waxaa lagama maarmaan ah inay tixgeliyaan oo dhan arrimaha saameeya geedi socodka iyo loo ogaado xaaladaha hore. Waa in sidoo kale lagu salaynayo xaqiiqooyinka iyo gunaanad macquul ah.
2. Waayo, isla'egta. Tani waxa u fududahay in ay dhibic ugu horeysay, tan iyo markii ay u baahan tahay oo keliya fulinta adag ee xisaabta.
3. Falanqaynta iyo qiimeynta natiijooyinka. xal minguuriyey waa in la qiimeeyey rakibo of qiimaha la taaban karo oo af natiijada.

Tusaale ka mid ah isticmaalka kala duwan isleegyo in daawo

Isticmaalka aalada berrinkii daawada waxaa laga helaa dhismaha model xisaabeed epidemioligal. Waa in aynaan illoobin in isleegyo kuwan waxaa kale oo laga helaa bayoolaji iyo kimistari, taas oo u dhow daawada yihiin, maxaa yeelay waxa ay door muhiim ah daraasadda dadka noolaha kala duwan iyo hababka kiimikada ee jirka aadanaha.

Tusaalahaan, faafidda cudurka faafa ee cudurka waa la daaweyn karaa in bulshada cidlo ah. deggan waxaa loo qaybiyaa sadex qaybood:

• Cudurka, tirada x (t), taas oo ka koobnayd shakhsiyaad, sidayaal faafa, kuwaasoo mid walba uu yahay faafa (Xilliga cudurku waa gaaban).
• Nooca labaad ee ka mid ah shakhsiyaadka ugu nugul y (t), waxaa lagu qaadi karaa taabashada cudurka.
• Nooca saddexaad waxaa ku jira shakhsiyaad madax adkaadeen z (t), kuwaas oo ah difaaca jirka ama lumay ay sabab u tahay cudur.

Number of shakhsiyaadka si joogto ah, ilaalinta dhalashada, dhimashada dabiiciga ah iyo socdaalka looma tixgeliyo. At xudunta u jiri doona laba fikradaha.

cudurka boqolkiiba at qaar ka mid ah dhibcood markii uu la siman yahay x (t) y (t) (malo ku salaysan aragtida ah in tirada xaaladaha saamiga tirada isgoysyada dhexeeya bukaanada iyo xubnaha ka jawaabaan, kuwaas oo in ku dhaw horeysay saami la x (t) y (t)), ee Sidaa darteed tirada xaaladaha sii kordhaya, iyo tirada hoos u nugul heer ah oo loo xisaabiyaa by faaska formula (t) y (t) (a> 0).

Number of xoolaha aan jawaabayaasha ku dhintay iibsatay ama difaac, kor u kacay heerka a kaas oo uu u dhigmaa tirada xaaladaha, bx (t) (b> 0).

Sidaas darteed, waxaad samaysan karta nidaamka isleegyo oo dhan saddex tilmaamayaasha ku saleysan gunaanad ay.

isticmaalka TUSAALE dhaqaalaha

kalkulas kala duwan waxaa badanaa loo isticmaalaa in falanqaynta dhaqaale. Hawsha ugu wayn ee falanqaynta dhaqaale ee waxaa loo arkaa inay daraasadda ka mid ah qiyamka dhaqaalaha, kuwaas oo la diiwaan geliyey qaab shaqo. Waxa loo isticmaalaa in xalinta dhibaatooyinka sida isbedelka canshuurta dakhliga kordhay isla markiiba ka dib, khidmadaha laga soo galo, isbeddel ah ee dakhliyada marka la beddelo qiimaha sheyga, waxa saamiga lagu beddeli karo shaqaalaha ka fariistay qalab cusub. Si loo xaliyo dhibaatooyinka sida, waxa loo baahan yahay si ay u dhisaan function isgaarsiinta oo ka mid ah doorsoomayaasha soo socda, taas oo, ka dib markii lagu bartay by kalkulas kala duwan ah.

inta badan waxaa lagama maarmaan ah in la helo qaab ugu fiicnayn gudbikaraa oo dhaqaale: wax soo saarka ugu badan, dakhliga ugu sareeya, ugu yaraan kharashka iyo wixii la mid ah. qayb kasta oo kale waa shaqada ah hal ama ka badan doodaha. Tusaale ahaan, wax soo saarka la oran karo waa sida function ka mid ah shaqaalaha iyo caasimada. In xiriir this, helidda qiimaha ku habboon ee lagu yarayn karo in ugu badnaan helo ama ugu yar ee shaqada ka mid ah hal ama ka badan doorsoomayaasha.

dhibaatooyinka noocan oo kale ah la abuuro fasalka ka mid ah dhibaatooyinka extremal duurka dhaqaale, taas oo aad u baahan tahay kalkulas kala duwan. Marka tilmaanta dhaqaalaha loo baahan yahay si loo yareeyo ama loo kordhiyo sida shaqo ah oo xuduudaheedu kale, ratio inremantiga function dhibcood ugu badnaan in ay dood ka muuqdaan doonaa si eber, haddii inremantiga doodda waxay u egtahay inay eber. Haddii kale, marka habdhaqanka noocan ah waxay noqonaysaa inay qiimo gaar ah togan ama taban, dhibic ku qeexan ma ku habboon yahay, maxaa yeelay, by badaneyso ama ay yaraaneyso Xujada waa la bedeli karaa qiimaha ku tiirsan jihada la doonayo. In erey-kalkulas kala duwan, tani ka dhigan tahay in shuruudaha looga baahan yahay shaqo ugu badnaan waa eber qiimaha ay derivative.

dhaqaalaha ma aha dhibaato aan caadi ahayn la helo extremum ee function ka mid ah dhowr doorsoome, maxaa yeelay, tusayaasha dhaqaalaha ka kooban yihiin qodobo badan. arrimaha noocan oo kale ah ay si fiican u fahamsan yahay in aragtida ah ee hawlaha doorsoomayaasha dhowr, habka xisaabinta kala duwan ee. dhibaatooyinka noocan oo kale ah waxaa ka mid ah ma gaarsiiyaa kaliya oo la yareeyo shaqo, laakiin sidoo kale xadeynta. Su'aalahani waxay la xidhiidhaan barnaamijyada xisaabta, Oo iyaga waa la xallin iyadoo la kaashanayo qaababka gaar ah waxaa sidoo kale ku salaysan laan this sayniska.

Waxaa ka mid ah hababka kalkulas kala duwan loo isticmaalo dhaqaalaha, qaybta muhiim ah waa imtixaanka kama dambaysta ah. In ka howgala dhaqaale, ereyga loola jeedaa set oo ah habab cilmi waxqabadka variable iyo natiijada marka aad bedesho mugga abuurniinta, isticmaalka, ku salaysan falanqaynta ee xadka qiimaha ay. Xaddididda ay calaamad tixgeliyo derivative ama taagayo qayb dhowr doorsoome.

kalkulas kala duwan ee dhawr doorsoomayaasha - mawduuc muhiim ah falanqaynta xisaabta. Waayo, waxbarasho faahfaahsan, waxaad isticmaali kartaa noocyo kala duwan oo qalabka waxbarashada machadyada sare ee tacliinta. Mid ka mid ah Fikhtengol'ts ugu caansan abuuray - "oo ka mid ah kala duwanaanshaha iyo kalkulaska lagama maarmaan." Intee in leeg ee magaca xal ah ee isla'egyada kala duwan ee muhiimadda badan in ay leeyihiin xirfadaha si ay ula integrals shaqeeyaan. Marka ay jirto kalkulas kala duwan ee hawlaha hal doorsoome ah, go'aanka uu noqdo mid fudud. Inkastoo, waa in la ogaadaa in, waxaa soo socota xeerarka aasaasiga ah isla. In dhaqanka, si ay u baaraan shaqo ee kalkulaska kala duwan ee, kaliya raacaan geynta ee hore u jiray, oo waxaa la siiyaa dugsiga sare, iyo kaliya in yar oo dhib la hordhaca ah ee doorsoomayaasha cusub.