Toosan iyo isla'egta kala duwan dhqaalaha amarka ugu horeysay. tusaale u ah xal

Waxaan qabaa inaan waa in la taariikhda qalab qurxoon oo xisaabta sida isla'egyada kala duwan bilowdo. Sida kala duwan oo dhan iyo kalkulaska muhiim, isla'egyada kuwanuna waxay hindiseen Newton goor dambe oo qarnigii 17aad. Waxa uu rumaysan yahay in ay ahayd inuu soo saar si muhiim ah in xitaa fariin Windows XP, taas oo maanta loo tarjumi karaa sida soo socota: ". Dhammaan xeerarka dabeecadda ku tilmaamay by isla'egyada kala duwan" Waxay u ekaan kartaa buunbuunin haddii, laakiin waa run. Sharci kasta of physics, chemistry, bayoolaji, lagu tilmaami karaa by isleegyo kuwan.

kaalin weyn in horumarinta iyo abuuridda of aragtida ah ee isla'egyada kala duwan waxay leeyihiin xisaabta Euler iyo Lagrange. Horeba in qarnigii 18aad ay ogaadeen iyo in la horumariyo waxa hadda waxbarasho ee koorsooyinka sare oo ka tirsan jaamacadda.

guul A cusub ee waxbarasho ee isla'egyada kala duwan bilaabay inuu Anri Puankare mahad. Wuxuu u abuuray Eebe ah "aragtida tayo isleegyo kala duwan", taas oo, ay weheliso aragtida ah ee hawlaha doorsoomayaasha adag door weyn ka qaata in aasaaskii topology - sayniska ee bannaan iyo hantida.

Waa maxay isla'egyada kala duwan?

Dad badan ayaa ka cabsi weedha ah "isla'egta kala duwan". Si kastaba ha ahaatee, in this article aan qeexi doonaa si faahfaahsan nuxurka of this qalab xisaabta aad u faa'iido badan taas oo run ahaantii ma aha sida adag sida waxa ay u muuqataa ka horyaalka. In si ay u bilaabaan in ay ka hadlaan a horeysay-si isla'eg kala duwan, waa inaad marka hore bartaan fikradaha aasaasiga ah ee la muuqo la xidhiidha qeexitaankan. Oo waxaan bilaabi doonaa la kala duwan ee.

kala duwan

Dad badan ayaa la ogaado xilli tan dugsiga sare. Si kastaba ha ahaatee, weli deggan on faahfaahsan. Bal qiyaas garaafka ah ee shaqada. Waxaan u kordhin kartaa in ay sida xad in mid ka mid ah ay qeybta noqdo xariiq toosan. Waxay qaadan doonaa laba dhibcood in ay yihiin Rowan u dhow midba midka kale. Farqiga u dhexeeya wadataa ay (x ama y) waa infinitesimal. Oo waxaa lagu magacaabaa kala duwan iyo jilayaal u xil haysid (faraqa of y) iyo DX (faraqa ee x). Waxaa muhiim ah in la fahmo in kala duwan ee ma aha qiimaha kama dambaysta ah, oo tanuna waa macnaha iyo shaqada ugu weyn.

Haddaba waa inaad tixgelisaa waxyaabood ee soo socda, taas oo aan u baahan doontaa inaad sharaxdo fikradda isla'egta kala duwan ee. Waxaa - derivative.

derivative

All oo naga mid ah waa maqlay dugsiga iyo fikradda this. Waxay sheegeen in derivative - waa saamiga koritaanka ama hoos u dhac ah ee shaqada. Si kastaba ha ahaatee, qeexitaankan sii wareer. Ina keena aynu isku dayaan si ay u sharxaan ereyada derivative oo kala ah. Aan dib ugu shaqada infinitesimal bareeg tagaan iyadoo labo dhibcood, kuwaas oo ku yaal ugu yaraan fogaan ah midba midka kale. Laakiin xitaa ka baxsan shaqada masaafada ay tahay markii u bedesho qiimaha qaar ka mid ah. Iyo si uu u sharaxo isbedel iyo soo derivative ah in si kale loo qori lahaa sida saamiga oo kala ah: f (x) = DF / DX.

Haddaba waxaa lagama maarmaan ah in la tixgeliyo guryaha aasaasiga ah ee derivative ah. Waxaa jira oo keliya saddex:

1. wadarta derivative ama farqiga u matali karaa sida wadarta ama farqi ah taagayo ah: (a + b) = a '+ b', iyo (ab) = a'-b '.
2. hantida labaad ku xiran yahay isku dhufashada. shuqullada derivative - waa wadarta shuqullada hal function si derivative kale: (* a b) = a '* b + * a b'.
3. derivative of farqiga waxaa loo qori karaa sida isla'egta soo socda: (a / b) = (a '* ba * b) / b ^2.

Tilmaamo All kuwanu waxay ka iman haan xal loo helo in ay kala duwan isleegyo amarka ugu horeysay.

Sidoo kale, waxaa jira taagayo qayb ahaan. Ka soo qaad waxaan leenahay shaqo ka mid ah z ah, taas oo ku xiran doorsoomeyaasha x iyo y. Si loo xisaabiyo derivative ah qayb ka mid ah shaqada, tusaale ahaan, in x, waxaan u baahan nahay in ay qaataan y ka variable for joogto ah oo ay fududahay in la kala saaro.

lagama maarmaan

fikradda kale oo muhiim ah - muhiim. Xaqiiqadu waxa ay tahay lid ku ah derivative. Integrals jira dhawr nooc, laakiin xalka ugu fudud ee isla'egyada kala duwan, waxaan u baahan nahay ugu Ciyaalle integrals indefinite.

Sidaas daraaddeed, waxa lagama maarmaan ah? Aan niraahno waxaan leenahay xiriir qaar ka mid ah f of x. Waxaan ka qaadan muhiim ah oo loo helo F a function (x) (waxaa inta badan loo gudbiyo sida heer hoose ah), taas oo ah derivative ah shaqo asalka. Sidaa darteed F (x) = f (x). Tani waxay sidoo kale waxa ay tilmaamaysaa in lagama maarmaan u ah derivative waa loo siman yahay si ay shaqo asalka.

In la xaliyo isla'egyada kala duwan, waa mid aad u muhiim ah in la fahmo macnaha iyo shaqada muhiim ah, tan iyo marar aad u leedahay si aad u qaadato in ay xal u hesho.

isla'egyada kala duwan yihiin iyagoo ku xidhan nooca. In qaybta xigta waxaan eegi doonaa nooc oo isleegyo si kala duwan ugu horeysay, ka dibna ay bartaan sida loo xaliyo.

Fasallada isleegyo kala duwan

"Diffury" qaybiyey amarka taagayo lug iyaga oo ku. Haddaba waxaa jira amar koowaad, labaad, saddexaad ama ka badan. Waxay sidoo kale loo qaybin karaa fasalo badan: caadiga ah iyo qayb ahaan.

In this article, waxaan ka fiirsan doonaan isla'egyada kala duwan oo caadi ah si ugu horeysay. Tusaale ahaan iyo xalalka aan ka wada hadalno in qaybaha soo socda. Waxaan ka fiirsan oo kaliya TAC ah sababtoo ah waa noocyada ugu badan ee isla'egyada. Caadiga ah qaybsan dacawo: doorsoomayaal separable, dhqaalaha iyo Nuurre Aw. Next waxaad ku baran doontaa waxay ku kala duwan sida ay midba midka kale, oo ay bartaan sida loo xaliyo.

Intaa waxaa dheer, isla'egyada waxaa lagu dari karaa, sidaa darteed ka dib markii aan aad u hesho nidaam isla'egyada kala duwan ee amarka ugu horreeya. Nidaamka noocan oo kale ah, waxaan sidoo kale eegto oo ay bartaan sida loo xaliyo.

Waa maxay sababta aan ku fekereyno kaliya amarka ugu horeysay? Maxaa yeelay, waxaa lagama maarmaan ah in lagu bilaabo fudud iyo qeexo oo dhan ee la xidhiidha isla'egyada kala duwan, ee hal article ah waa wax aan macquul aheyn.

Isleegyo doorsoomayaal separable

Tani dabcan waa ay isla'eg koowaad ee ugu fudud si kala duwan. Kuwani waa tusaalooyinka in loo qori karaa sida: y '= f (x) * f (y). Si loo xaliyo isla'egta this waxaan u baahan nahay formula matalaadda derivative ah sida saamiga oo kala ah: y '= haysashada / DX. waxaa la aan ka heli isla'egta: haysashada / DX = f (x) * f (y). Haddana aan u leexano karaa in habka of xalinta tusaalooyinka caadiga ah: kala doorsoomayaasha ee qaybo, ie dhakhso weeraryahanka dhan y ka variable in qayb ka mid ah halkaas oo ay jiraan haysashada, iyo sidoo kale x variable ... Waxaan aad u hesho isla'eg ah foomka: haysashada / f (y) = DX f (x), oo waxaa lagu gaarayaa by qaadashada integrals oo ka mid ah laba qaybood. Ha illoobin oo ku saabsan joogta ah in aad rabto in ay ku riday ka dib markii la qabsashada waddanka.

Xalka of kasta "diffura" - waa shaqo ah x by y (in our kiiska), ama haddii ay jirto xaalad tiro, jawaabtu waa tiro. Ina keena aynu baari tusaale la taaban karo dabcan oo dhan go'aanka:

y '= 2y * dembiga (x)

Bedelka doorsoomayaasha ee jiho oo kala duwan:

haysashada / y = 2 * dembiga (x) DX

Hadda kaxee integrals ah. Dhamaan iyaga ka mid ah waxaa laga heli karaa miiska gaar ah integrals. Oo aan ka heli:

lihida (y) = -2 * sababtoo ah (x) + C

Haddii loo baahan yahay, waxaynu u qori kartaa "y" sida function ah "X". Haddaba waxaan dhihi karaa in isla'eg kala duwan our waxaa xalin, haddii aan lagu cayimin xaaladda. la cayimay karaa xaalad, tusaale ahaan, y (n / 2) = e. Markaas si fudud aan ugu Badali qiimaha oo ka mid ah doorsoomayaasha in go'aanka Oo waxaad heli doontaa qiimaha joogto ah. In aynu tusaale ahaan, waa 1.

Si horeysay isla'egyada kala duwan dhqaalaha

Hadda on qaybaha dheeraad ah oo adag. y '= z (x, y): dhqaalaha isleegyo si kala duwan ugu horeysay ee foomka guud ahaan waxaa loo qori karaa. Waa in la ogaadaa in shaqada saxda ah ee laba doorsoome yahay labis, oo ha loo qaybin karaa laba ku xiran tahay: x z iyo z of y. Hubi in isla'egta waa dhqaalaha ama aan, waa mid fudud ilaa xad: waxaan ka dhigi bedelay x = k * x iyo y = k * y. Hadda waxaan gooyay k dhan. Haddii waraaqaha kuwanu waxay leeyihiin hoos, ka dibna isla'egta dhqaalaha iyo si ammaan ah wadi karin in ay xal. Raadinta ka hor, waxaan dhihi mabda'a of xal of tusaale sidoo kale waa mid aad u fudud.

Waxaan u baahanahay in la sameeyo bedelay ah: = y t (x) * x, halkaas oo t - shaqo ah in ay sidoo kale ku xiran tahay x. Haddaba, waxaan ku cabiri karaan derivative ah: y '= t' (x) * x + t. Waxaas oo dhan waxay Badalaa galay our isla'egta asalka iyo u fududaynta, waxaan heysanaa tusaale ah ee kala ah doorsoomayaasha t sida x. waxaa Xalliyaan iyo hesho tiirsanaanta ee t (x). Marka aan u helay, si fudud u badali our hore bedelay y = t (x) * x. Haddaba, waxaan u hesho tiirsanaanta ee y on x.

Si aad uga dhigto cad, waxaan u garan doonaa tusaale: x y * '= yx * e y / x.

Marka hubinta bedelka oo dhan hoos. Sidaas daraaddeed, isla'egta waa run ahaantii dhqaalaha. Hadda ka dhigi bedelay mid kale, waxaan la hadlay oo ku saabsan: = y t (x) * x iyo y '= t' (x) * x + t (x). Ka dib markii fududeynta isla'egta soo socda: t '(x) * x = -e t. Waxaan go'aan si aad u hesho muunad doorsoomayaal cidina wehelin oo aan ^{ka heli: e -t = lihida (C *} x). Waxaan u baahanahay inaan bedelo t by y / x (sababta oo ah haddii y = t * x, ka dibna t = y / x), oo aan helno ^{jawaabta: e -y / x = lihida (} x * C).

isla'egta kala duwan toosan amarka ugu horeysay

Waa wakhti ay ku fiirsan topic kale ballaadhan. Waxaan eegi doonaa hore si isla'egyada kala duwan Nuurre Aw. Sidee bay u kala duwan yihiin ha ka laba hore? Aynu u wajihi. isleegyo ugu horeysay si kala duwan toosan oo ah qaab guud ee isla'egta sidaas waxaa loo qori karaa: y '+ g (x) * y = z (x). Waa in la caddeeyo in z (x) iyo g (x) waxaa laga yaabaa in qiimaha joogto ah.

Halkan waxaa ku qoran tusaale: y '- y * x = x ^2.

Waxaa jira labo siyaabood si ay u xalliyaan, oo waxaan ku amri Labadoodu ha iyaga noo baaro. Midkii kowaad wuxuu u - habka ay u kala duwanaansho of geysid loo aabo yeelin.

Si loo xaliyo isla'egta sidan, waxaa lagama maarmaan ah in Gallobayse kooxdii ugu horeysay-gacantiisa midig si eber, iyo shaqeyneysid isla'egta keentay taas oo ka dib markii suuqa kala iibsiga ee qaybo ka mid noqdo:

y '= y * x;

haysashada / DX = y * x;

haysashada / y = xdx;

lihida | y | = x ^2/2 + C,

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Haddaba waxaa lagama maarmaan ah si ay ugu bedesho si joogto ah C ₁ on v ka function (x), taas oo aan ka heli doono.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Isku Aadka derivative bedelka:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Waana in lagu badalaa, kuwaas oo tibaaxaha kusoo biirtay loolanka asalka ah:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Waxaad arki kartaa in dhinaca bidix ee labada shuruudaha hoos. Haddii tusaale ahaan qaar ka mid ah taasi ma dhicin, markaas waxaad samaysay wax qalad ah. Waxaan sii wadi in ay:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Hadda waxaan u xaliyaan isla'egta caadiga ah, taas oo aad rabto in aad kala doorsoomayaasha ah:

DV / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} DX.

Si aad u saaro muhiim ah, waxaan ku khasbannahay in codsan isdhexgalka by qaybo halkan. Si kastaba ha ahaatee, tani ma aha mawduuca maqaalkan. Haddii aad xiisaynayso, waxaad baran kartaa on iyaga u gaar ah si ay u fuliyaan falalka noocaas ah. Ma aha wax adag, iyo xirfad iyo daryeel ku filan ma aha waqti.

Iyadoo lagu tilmaamayo habka labaad xalka ka mid ah isla'egyada inhomogeneous: Habka Bernoulli. Waa maxay hab waa mid dheereysa oo sahlan - waa adiga.

Sidaas, marka xalinta habkan, waxaan u baahan nahay in la sameeyo la bedelay ka: y = k * n. Halkan, k iyo n - hawlaha qaar ka mid ah waxay ku xiran tahay x. Markaas derivative ku eegi doonaa sida: y '= k' * n + k * n '. Bedel ku soo galay laba bedelay isla'egta:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group ilaa:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Haddaba waxaa lagama maarmaan ah in Gallobayse eber, waxa parentheses. Haddaba, haddii aad isu geeyo labada isleegyo keentay, waxaan u hesho nidaam amarka ugu horeysay isla'egyada kala duwan si loo xalliyo:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

sinnaanta ayaa marka hore go'aan ka sida isla'egta caadiga ah. Si arrintan loo sameeyo, waxaad u baahan tahay in la kala saaro doorsoomayaasha ah:

DN / DX = x * v;

DN / n = xdx.

Waxaan qaadan muhiim ah oo aan ka heli: lihida (n) = x ^2/2. Markaas, haddii aan n muujiyaan:

n = e ^{x2 / 2.}

Haddaba badali isla'egta keentay kusoo biirtay loolanka labaad:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Oo ekaysiinaya, waxaan ka heli isla'egta la mid ah sida in habka ugu horeysay:

Danmark = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Waxaan sidoo kale aan ka wada hadli doonaan tallaabo dheeraad ah. Waxaa la sheegay in markii hore-si isla'egyada kala duwan marka hore xal keentaa dhibaatooyin badan. Si kastaba ha ahaatee, bilowga qoto dheer in mawduuca waa uu soo kabsanayaa oo wanaagsan si aad u hesho.

Aaway isla'egyada kala duwan?

isleegyo aad u firfircoon kala duwan loo isticmaalo in physics, sida ku dhowaad dhammaan sharciyada asaasiga ah ee qaab kala duwan ku qoran, iyo qaaciidooyinka, kuwa aan ku aragno - xal u isleegyo kuwan. In kimistari, waxay waxaa loo isticmaalaa sabab la mid ah, shuruucda aasaasiga ah waxaa laga dheefayo iyaga. In biology, isla'egyada kala duwan ee waxaa loo isticmaalaa si ay u qaabeeyaan dhaqanka nidaamyada, sida ilaashadaan - ugaadha. Waxay sidoo kale waxaa loo isticmaali karaa si ay u abuuraan daydo faafin ah, tusaale ahaan, deegaanada of sheyga.

Sida isla'egyada kala duwan caawiyo nolosha?

Jawaabta su'aashan waa mid fudud: waxba. Haddii aadan cilmiga ama injineer, waa lagama yaabo in ay waxtar leh u noqon doonaa. Si kastaba ha ahaatee, ma uu yeelin in la ogaado waxa isla'egta kala duwan iyo waxaa la xallin waayo, horumarka guud. Ka dibna su'aasha ah wiil ama gabadh, "waxa isla'egta kala duwan ah?" ma waxaad ku rid dhamaadka a dhintay. Waa hagaag, haddii aad tahay saynisyahan ama injineer, markaasaad garan muhiimadda ay leedahay in this topic sayniska kasta. Laakiin ugu muhiimsan, in hadda su'aasha "sida loo xalliyo su'aasha kala duwan ee amarka ugu horreeyey?" waxaad mar walba awood u yeelan doonaan in ay siin jawaab. Ku heshiiya, waxaa had iyo jeer waa wax fiican marka aad ay ogaadaan in waxa ay dadku yihiin xitaa ka cabsadeen inay u ogaato.

Dhibaatooyinka ugu waaweyn ee daraasadda

Dhibaatada ugu weyn ee in fahamka ee mawduucan waa caado xun hawlaha is-dhexgalka iyo kala. Haddii aad raaxo u qaadan taagayo iyo integrals, waa laga yaabaa in qiimo badan ay wax ku bartaan, si ay u bartaan habab kala duwan oo ka mid ah is-dhexgalka iyo kala, ka dibna kaliya sii wado baadhitaan mid ah waxyaabaha la tilmaamay in maqaalka.

Dadka qaar ayaa la yaabay in ay bartaan DX in loo gudbin karaa, sida hore (dugsiga) ku dooday in haysashada jajab / DX waa qaybin karo. Markaas waxaad u baahan tahay inaad akhrido suugaanta on derivative iyo fahmaan in ay tahay habdhaqanka of tiro Rowan yar, taas oo la musuq maasuqay karaa isla'egta.

Dad badan ayaan si degdeg ah ma ogsoona in xalka of isla'egyada kala duwan ee amarka ugu horreeya - tani inta badan waa shaqo ama neberuschiysya muhiim, iyo dhagar iyaga siinayaa dhibaato badan.

Maxaa kale loo baran karaa in ay si fiican u fahmaan?

Waxaa ugu fiican in la bilaabo bilowga dheeraad ah dunida ee kalkulaska kala duwan ee buugaagta gaar ah galay, tusaale ahaan, in falanqaynta xisaabta ee ardayda ah ee u gaarka ah aan xisaabta. ka dibna aad u soo guurto karaa si suugaanta khaas ah oo dheeraad ah.

Waxaa la sheegay in, marka lagu daro kala duwan ee, waxaa weli jira isleegyo lagama maarmaan, si aad mar kasta waxay yeelan doonaan wax ay ku Dadaashid iyo waxa aad ka baran.

gunaanad

Waxaan rajaynaynaa in ka dib markii reading this article waxaad yeelan doontaa fikrad ah waxa isla'egyada kala duwan iyo sida loo sax ah u xaliyaan.

Si kastaba ha ahaatee, xisaabta sinaba na nolosha. Waxa uu yeesho macquulka ah iyo dareenka, aan la'aanteed ninna kasta, sida aan gacmo.